在锐角△ABC中.AB=5.AC=4$\sqrt{2}$.∠ACB=45°.将△ABC绕点B按逆时针方向旋转.得到△A1BC1．(1)如图1.当点C1在线段CA的延长线上时.①求∠CC1A1的度数,②求四边形A1BCC1的面积,(2)如图2.点E为线段AB中点.点P是线段AC上的动点.在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中.点P的对应点是点P1.求线段EP1长度的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．在锐角△ABC中，AB=5，AC=4$\sqrt{2}$，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，
①求∠CC₁A₁的度数；
②求四边形A₁BCC₁的面积；
（2）如图2，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A₁BC₁中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

分析（1）①利用旋转的性质分别求出∠BC₁C，∠A₁C₁B的度数即可．
②过点A作AG⊥BC于G，首先求出BC，根据四边形A₁BCC₁的面积=△C C₁B的面积+△A₁C₁B的面积计算即可．
（2）如图2中，过点B作BD⊥AC，D为垂足，①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小．
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大．分别计算即可解决问题．

解答解：（1）①如图1中，
∵由旋转的性质可得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠C C₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠C C₁A₁=∠C C₁B+∠A₁ C₁B=45°+45°=90°．

②解：过点A作AG⊥BC于G，
∵∠ACB=45°
∴∠GAC=45°，
∴AG=CG，
∴在Rt△AGC中，AG=CG=$\frac{4\sqrt{2}}{sin∠C}$=4
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3
∴BC=BG+CG=4+3=7；
∴四边形A₁BCC₁的面积=△C C₁B的面积+△A₁C₁B的面积
=$\frac{1}{2}$×7×7+$\frac{1}{2}$×7×4=$\frac{77}{2}$；

（2）如图2中，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB上时
EP₁最小，最小值为 $\frac{7\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5}{2}$．
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，
EP₁最大，最大值为 $\frac{5}{2}$+7=$\frac{19}{2}$．

点评本题考查时间最综合题、旋转变换旋转、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会取特殊点解决最值问题，属于中考压轴题．

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