Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分两种情形分别画出图形求解即可.

解：如图1中，当∠AFB′＝90°时．

在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝3，

∴AB＝2AC＝6，BC＝3，

∵BD＝CD，

∴BD＝CD＝，

∵∠BFD＝90°，

∴∠BDF＝60°，

∴∠EDB＝∠EDF＝30°，

∴∠B＝∠EDB＝30°，

∴EB＝ED，设BE＝DE＝x，

在Rt△EDF中，DE＝2EF，

∴x＝2（﹣x），

∴x＝，

∴AE＝6﹣＝．

如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．

∵AD＝AD，CD＝DB′，

∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），

∴AC＝AB′＝3，

∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，

∴∠EB′H＝60°，

在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（6﹣x），EH＝B′H＝（6﹣x），

在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，

∴[（6﹣x）]2+[3+（6﹣x）]2＝x2，

解得x＝，

综上所述，满足条件的AE的值为或．

故答案为或．