Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，0），顶点G坐标为（0，2）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；
（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，易得△OGA∽△OMN．
（2）根据（1）的结论，可得AG的值，即A的坐标，设反比例函数y=

k

x

，把A（1，2）代入，得k=2，即y=

2

x

．
（3）易得B的坐标，设y=mx+n，把A（1，2），B（4，

1

2

）代入可得方程组，解可得mn的值，代入可得直线AB的解析式；
（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，易得点Q坐标为（2，1），将其代入解析式，即可判断出答案．

解答：解：（1）△OGA∽△OMN．（1分）
由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
∴△OGA∽△OMN．（2分）

（2）由（1）得

AG

MN

=

OG

OM

．
∴

AG

2

=

2

4

，AG=1，
∴A（1，2）．（3分）
设反比例函数y=

k

x

，把A（1，2）代入，得k=2，即y=

2

x

．（4分）

（3）∵点B的横坐标为4，把x=4代入y=

2

x

中得，y=

1

2

，即B（4，

1

2

）．（5分）
设y=mx+n，把A（1，2），B（4，

1

2

）代入，得

m+n=2 4m+n= 1 2

解得

m=- 1 2 n= 5 2

∴y=-

1

2

x+

5

2

．（8分）


（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，则点Q坐标为（2，1）．
把x=2代入y=

2

x

，得y=1．
∴反比例函数的图象经过矩形OEFG的对称中心．（10分）

点评：综合考查三角形相似的判定，反比例函数直线关系式的求法，及中心对称的有关知识．此题综合性强，有一定的难度，有利于培养同学们勇于探索的良好学习习惯．