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    两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=2．

    固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

    1.如图（1），△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，它的面积是否变化，如果不变请求出    其面积．如果变化，说明理由．

    2.如图（2），当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由

    3.如图（3），△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，

    使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出的值．

      

     

    【答案】

     

    1. 因为ABC是直角三角形，角A=60度，AC=1，所以AB=2，BC=√3

    因为两三角形全等，所以AC=DF,同时角A等于角FDB，所以AC//DF，所以ADFC是平行四边形，所以AD=CF

    因为ADFC是平行四边形，所以CF//AD（AB），所以CDBF是梯形，

    所以CDBF面积为（CF+DB)高

    因为CF+DB=AD+DB=AB，

    因为CF//AD，所以三角形ABC和四边形CDBF等高

    所以四边形CDBF的面积等于三角形ABC的面积

    三角形ABC的面积等于(ACBC)=      所以CDBF面积=

    2.当D移动到AB中点时

    由上一问可知：CF=AD=DB=1       CD//BD

    所以此时CDBF是平行四边形

    在三角形ADC中，角A=60度，AC=1，AD=AB/2=1

    所以三角形ADC是等边三角形，所以CD=1

    平行四边形CDBF中，邻边CF=CD          所以CDBF是菱形

    3.过点D作DF⊥AE于F,△ADF∽△AEB

    求出AE=,DF=         Sin∠DEA= ．

    【解析】熟悉平移的性质和直角三角形的性质．注意：两条平行线间的距离处处相等．

     

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    22、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
    （1）求证：AF+EF=DE；
    （2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；
    （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜α＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

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    将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
    （1）求证：CF=EF；
    （2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF+EF与DE的大小关系：AF+EF
     
    DE．（填“＞”或“=”或“＜”）
    （3）若将图（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为
     
    ，又可以表示为
     
    ．对比两种表示方法可得
     
    ．化简，可得a2+b2=c2．他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话．

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    17、在下列命题中，假命题是（　　）

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    （2013•溧水县二模）已知两个全等的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．
    （1）若纸片△DEF不动，把△ABC绕点F逆时针旋转30°时，连结CD，AE，如图2．
    ①求证：四边形ACDE为梯形；
    ②求四边形ACDE的面积．
    （2）将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直接写出△ABC恰有一边与DE平行的时间．（写出所有可能的结果）

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