Question

【题目】如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．

（1）求证：HB是⊙O的切线；

（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）10．

【解析】

（1）连接OH，由题意可得∠OHP＝∠HPA＝∠HPB，可证OH∥BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；

（2）过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH＝BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可得⊙O的直径．

证明：（1）如图，连接OH，

∵PH平分∠APB，

∴∠HPA＝∠HPB，

∵OP＝OH，

∴∠OHP＝∠HPA，

∴∠HPB＝∠OHP，

∴OH∥BP，

∵BP⊥BH，

∴OH⊥BH，

∴HB是⊙O的切线；

（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，

∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，

∴四边形EOHB是矩形，

∴OE＝BH＝4，OH＝BE，

∴CE＝OH﹣2，

∵OE⊥PC

∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，

在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，

∴OP2＝（OP﹣2）2+16

∴OP＝5，

∴AP＝2OP＝10，

∴⊙O的直径是10．