Question

把两位数从19依次写到80，得到n=192021…80，求证：1980|n．

Answer 1

1980=20×99=20×9×11
显然有10|n，（20，9，11）=1
再证9|n．
∵

.

ab

≡a+b（mod9），
∴n≡1+9+2+0+2+1+…+7+9+8+0
≡19+20+21+…+80≡0（mod9），
∴9|n．
再证11|n．
∴n=19×10¹²⁰+20×10¹¹⁸+…+79×10²+80，
而100≡1（mod11），
∴10^k≡1（mod11），
∴

.

ab

×100^k≡

.

ab

（mod11），
∴a≡19+20+21+…+79+80≡99×31≡0（mod11），
∴11|n
即1980|n．