Question

重排任一个三位数三个数位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成另一个三位数（允许百位数字为0），再重复早上的过程，问重复2003次后所得的数是多少？证明你的结论．

Answer 1

分两种情况证明；
（1）若三个数位上的数字全相同，所得数为0，显然成立；
（2）若三个数位上的数字不完全相同，
不妨设这个三位数为

.

abc

，a≥b≥c，且a≥c+1，
所以

.

abc

-

.

cba

=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位数中必有一个9，而另外两个数字之和为9；
共有990，981，972，963，954五种情况；
以990为例得，990-099=891，
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
…
由此可知最后得到495数就会循环，重复2003次后所得的数是495．