Question

若x-y=l，x³-y³=4，则x¹³-y¹³=

521

．

Answer 1

分析：先根据x-y=l，x³-y³=4，结合立方公式可得xy=1，也就可求x²+y²=3，进而可求x⁴+y⁴、x⁷-y⁷、x¹⁰+y¹⁰的值，最后易求x¹³-y¹³的值．

解答：解：∵x-y=l，x³-y³=4，
∴x³-y³=（x-y）（x²+xy+y²）=（x-y）[（x-y）²+3xy]=4，
∴1×（1+3xy）=4，
∴xy=1，
∴x²+y²=3，
∴x⁴+y⁴=（x³-y³）（x-y）+x³y+xy³=7，
∴x⁷-y⁷=（x³-y³）（x⁴+y⁴）+x⁴y³-x³y⁴=29，
∴x¹⁰+y¹⁰=（x³-y³）（x⁷-y⁷）+x³y⁷+x⁷y³=4×29+7=123，
又∵x¹³-y¹³=（x³-y³）（x¹⁰+y¹⁰）-x³y¹⁰+y³x¹⁰，
=4（x¹⁰+y¹⁰）+x³y³（x⁷-y⁷），
=4×123+29，
=521．
故答案为：521．

点评：本题考查了立方公式、多项式乘以多项式．解题的关键是先求xy、x²+y²的值，层层递进可求出x¹³-y¹³的值．