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2025年天星教育试题调研高中数学
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调研1 [试题调研原创]设数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}＞0,a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+·s +a_{n}^{3}=(a_{1}+a_{2}+·s +a_{n})^{2}$.
(1)求$a_{n}$;
(2)设$f(x)=\sum_{i = 1}^{n}x^{a_{i}}+1$,求$f'(3)$.
答案：
(1)$a_{n}=n$；
(2)$\frac{(2n-1)3^{n}+1}{4}$
解析：
(1)当$n=1$时，$a_{1}^{3}=a_{1}^{2}$，$a_{n}＞0$，则$a_{1}=1$。
当$n\geq1$时，设$S_{n}=a_{1}+a_{2}+·s+a_{n}$，有$a_{1}^{3}+·s+a_{n}^{3}=S_{n}^{2}$。
当$n\geq1$时，$a_{1}^{3}+·s+a_{n}^{3}+a_{n+1}^{3}=S_{n+1}^{2}=(S_{n}+a_{n+1})^{2}$，两式相减得$a_{n+1}^{3}=2S_{n}a_{n+1}+a_{n+1}^{2}$，$a_{n+1}＞0$，则$a_{n+1}^{2}=2S_{n}+a_{n+1}$。
当$n\geq2$时，$a_{n}^{2}=2S_{n-1}+a_{n}$，两式相减得$a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=a_{n+1}+a_{n}$，即$(a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}+a_{n})=a_{n+1}+a_{n}$，$a_{n+1}+a_{n}＞0$，故$a_{n+1}-a_{n}=1$。
$n=2$时，$1+a_{2}^{3}=(1+a_{2})^{2}$，解得$a_{2}=2$，$a_{2}-a_{1}=1$，则$\{a_{n}\}$是首项为1，公差为1的等差数列，$a_{n}=n$。
(2)$f(x)=1+x+x^{2}+·s+x^{n}$，$f'(x)=1+2x+3x^{2}+·s+nx^{n-1}$。
设$S=f'(3)=1+2×3+3×3^{2}+·s+n×3^{n-1}$，
$3S=1×3+2×3^{2}+·s+(n-1)×3^{n-1}+n×3^{n}$，
两式相减：$-2S=1+3+3^{2}+·s+3^{n-1}-n×3^{n}=\frac{3^{n}-1}{2}-n×3^{n}$，
则$S=\frac{(2n-1)3^{n}+1}{4}$，即$f'(3)=\frac{(2n-1)3^{n}+1}{4}$。
