Question

如图所示，在四棱锥P­―ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.

                                 

   （1）证明：PA∥平面EDB；

   （2）证明：PB⊥平面EFD；

   （3）求DB与平面PBC所成的角.

Answer 1

（1）证明：连结AC交BD于O，连结OE.

       ∵四边形ABCD是正方形，

∴O为AC的中点，              

∵E为PC的中点，

∴OE∥PA，

∴PA∥平面EDB.

   （2）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，∵BC⊥平面PCD，∵PD=DC.

∴DE⊥PC，∵DE⊥平面PBC，∴DE⊥PB，∵EF⊥PB，PB⊥平面EFD.

   （3）∵DE⊥平面PBC，∠DBE就是DB与平面PBC所成的角.

设PD=DC=a，则：

在Rt△BDE中，，

即：DB与平面PBC所成的角为30°.