Question

20、已知等腰梯形ABCD中，AB=2CD，

AE

=λ

EC

，椭圆过C、D、E三点，且以A，B为焦点．
（1）若AB=4，梯形的高为

3 5

2

，求椭圆方程；
（2）若-

1

3

≤λ≤-

1

4

，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）假设椭圆的方程，确定A，C的坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆的方程；
（2）确定点A，E，C坐标，代入椭圆方程，利用-

1

3

≤λ≤-

1

4

，即可求椭圆离心率e的取值范围．

解答：解：（1）由题意，设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则c=2，C（1，

3 5

2

）
代入椭圆方程可得：

1

a2

+

30 4

b2

=1，∵a²=b²+4，∴a²=16，b²=12
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，E（m，n），C（

c

2

，y），
∵A（-c，0），

AE

=λ

EC

，
∴E（

λc 2 -c

1+λ

，

λy

1+λ

）
将E，C的坐标代入

x2

a2

+

y2

b2

=1可得：

( λc 2 -c 1+λ )2

a2

+

( λy 1+λ )2

b2

=1；

c2 4

a2

+

y2

b2

=1
∴e2(

λ

2

-1)2+λ²（1-

e2

4

）=（1+λ）²
∴e²（1-λ）=1+2λ
∴e²=-2+

3

1-λ

∵-

1

3

≤λ≤-

1

4

∴

5

4

≤1-λ≤

4

3

∴

9

4

≤

3

1-λ

≤

12

5

∴

1

4

≤e2≤

2

5

∴

1

2

≤e≤

10

5

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．