Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

．
（1）求角C；
（2）若△ABC的最短边长是

5

，求最长边的长．

Answer 1

分析：（1）由tanA的值，根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和cosA的值，同时由cosB的值，由B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据诱导公式得cosC等于-cos（A+B），利用两角和的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到角C的度数；
（2）由sinA的值大于sinB的值，得到角A大于角B，即可得a大于b，得到b为最短的边，然后利用正弦定理，由b，sinB及sinC的值即可求出最长边c的值．

解答：解：（1）∵tanA=

1

2

，
∴A为锐角，则cosA=

2 5

5

，sinA=

5

5

．
又cosB=

3 10

10

，∴B为锐角，则sinB=

10

10

，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB
=-

2 5

5

×

3 10

10

+

5

5

×

10

10

=-

2

2

．
又C∈（0，π），
∴C=

3

4

π．
（2）∵sinA=

5

5

＞sinB=

10

10

，
∴A＞B，即a＞b，
∴b最小，c最大，
由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

，
得c=

sinC

sinB

•b=

2 2

10 10

•

5

=5．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、诱导公式及正弦定理化简求值，是一道综合题．