Question

设数列a_n、b_n、c_n的前n项和分别为S_n、T_n、R_n，对?n∈N*，a_n=5S_n+1，，c_n=b_2n-b_2n-1．
①求a_n的通项公式；
②求证：；
③若T_n＜λn，对?n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

解：①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，．n＞1时，a_n-1=5S_n-1+1，
两式相减得a_n-a_n-1=5（S_n-S_n-1）=5a_n，，
所以．
②，
，
，
从而．
③由T_n＜λn得，，
若n=2k-1（k∈N^*）是奇数，
则T_n≥4n-1，当且仅当λ≥4；
若n=2k（k∈N^*）是偶数，，
T_n＜4n，即当λ≥4时有T_n＜λn．
综上所述，λ的取值范围是[4，+∞）．
分析：①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，．n＞1时，a_n-1=5S_n-1+1，由此能求出a_n．
②，，，由此能够证明．
③由T_n＜λn得，，由此进行分类讨论能够得到λ的取值范围是．
点评：多个数列通常意味着多种形式的数列、多层次问题，解题通常需要有开阔的视野和思路，能适当选择、适时转换，关键是用等差等比数列性质处理好“起始”数列，不等式的处理则要求适度“放大”或“缩小”，处理好端点．