Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且曲线y=x²-nx+1（n∈N^*）在x=a_n处的切线的斜率恰好为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和为T_n；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…

1

an

＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）依据题意对函数求导，根据导数的几何意义得到数列的递推公式，由所得的递推公式构建关于数列{a_n}的项之间的关系，发现规律，用间接法求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据题设，由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，由于此数列的通项是由可以看作是两个数列通项的和组成，故求数列{na_n}的前n项和为T_n，要先分组，其中一组用等差数列的求和公式求和，另一组用错位相减法求和，然后再相加即可得到数列{na_n}的前n项和为T_n；
（3）由数列{a_n}的通项公式及不等式的形式，此不等式的证明要采取逐步放大的方法进行证明，

解答：解：（1）y’=2x-n，由导数的几何意义，得S_n=2a_n-n①，（1分）则S_n+1=2a_n+1-（n+1）②，
②一④得：a_n+l=2a_n+1-2a_n-1，即a_n+1=2a_n+l，（2分）故a_n+1=2（a_n+1）．（3分）
由①知，a_l=S₁=2a₁-1，得a₁=1．（4分）
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+l=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-l（n∈N^*）．（5分）
（2）由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，则Tn=(1•2+2•22+3•23++n•2n)-(1+2+3++n)=An-

n(n+1)

2

，其中A_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2A_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①一②得：-An=2+22+23++2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴A_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（8分）故Tn=(n-1)2n+1+2-

n(n+1)

2

（9分）
（3）∵

1

an

=

1

2n-1

=

2n+1-1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2•

(2n+1-1)-(2n-1)

(2n-1)(2n+1-1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)(n≥2)（12分）∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

++

1

an

＜1+2[(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)++(

1．

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=1+2(

1

22-1

-

1

2n+1-1

)＜1+2•

1

3

=

5

3

（l4分）

点评：本题考查了由递推公式求数列通项，分组求和与错位相减法求和等求和的技巧，以及放缩法证明不等式的技巧，本题综合性较强，对灵活运用知识与技巧进行变形要求很高，是一个能力型的题．