Question

如图，过点A（0，-1）的动直线l与抛物线C：x²=4y交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点．
（1）求证：x₁x₂=4
（2）已知点B（-1，1），直线PB交抛物线C于另外一点M，试问：直线MQ是否经过一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得，设直线L的方程为y=kx-1，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系即可求证
（II）设M（），由P，M，B三点共线可得K_PB=K_PM可得x₁x₃+x₁+x₃+4=0，结合（I）中x₁x₂=4整理可得，求出直线PQ的方程即可求解
解答：解：（I）由题意可得，直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx-1
由可得x²-4kx+4=0
∴x₁x₂=4
（II）设M（）
∵P，M，B三点共线
∴==
化简可得，x₁x₃+x₁+x₃+4=0（*）
∵x₁x₂=4
∴代入（*）可得x₁x₃+4（x₁+x₃）+4=0
∴

∴直线MQ的方程为y-=（x-x₂）即y=
∵
∴y==
当x=-4时，y=1
∴直线MQ经过一个定点（-4，1）
点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，直线方程的应用及一定的逻辑推理与运算的能力