Question

若椭圆E₁：和椭圆E₂：满足，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
（Ⅰ）求过（且与椭圆相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别于（I）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据定义得到有解得a，b．即可得到与椭圆相似的椭圆方程；
（2）先求出当射线l的斜率不存在时求出结论；再对当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度，再结合函数的单调性即可求出|OA|•|OB|的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）设与相似的椭圆的方程，
有⇒．
所求方程是．…（6分）
（Ⅱ）当射线l的斜率不存在时．
设点P坐标P（0，y），则y²=4，y=±2．即P（0，±2）．…（8分）
当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则得，
∴，
同理．…（10分）
当l的斜率不存在时，，
当l的斜率存在时，，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，
综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．