Question

21．已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a＞0, d＞0.设［1-］上，在处取得最大值，在，将点依次记为A， B， C.

(I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值

Answer 1

本小题考查函数的导数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数列等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.

(Ⅰ)解：∵2b=a+c.

∴f′(x)=ax²+2bx+c=ax²+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).

令f′(x)=0,得x=-1,或x= -

∵a＞0,d＞0,

∴0＜a＜b＜c,

∴

当＜x＜-1时，f′(x)＜0,

当x＞-1时，f′(x)＞0,

所以f(x)在x= -1处取得极小值，即

x₀= -1.

(Ⅱ)解法一：∵f′(x)=ax²+2bx+c,a＞0.

∴f′(x)的图象开口向上，对称轴方程是x= -

由＞1,知

∴f′(x)在［1-］上的最大值为f′(0)=c,即

x₁=0.

又由＞1，知-∈［1-］，

∴当x= -时，f′(x)取得最小值f′(-)=-即

x₂=-.

∵f(x₀)=f(-1)= -

∴A(-1,-),B(0,c),C(-,-).

由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以

即

a²=3d².                             ①

又由△ABC的面积为2+，得

利用b=a+d，c=a+2d，得

                ②

联立①，②可得

d=3,a=3.

解法二：∵f′(x)=ax²+2bx+c,a＞0，

f′(1-)=0,f′(0)=c.

由c＞0知f′(x)在［1-］上的最大值为f′(0)=c.即

x₁=0.

由知-∈［1-］.

∴当x= -时f′(x)取得最小值f′（-）= -即

∵f(x₀)=f(-1)=-

∴A(-1,-),B(0,c),C(-,-).

由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以

-= -,即

a²=3d².                         ①

又由△ABC的面积为2+ ，得

利用b=a+d，c=a+2d，得

             ②

联立①，②可得

d=3，a=3.