Question

在直角坐标系xoy中，曲线C₁上的点均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程
（Ⅱ）设P（x，y）（y≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别于曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值，可得|x+2|=且圆C₂上的点位于直线x=-2的右侧，从而可得曲线C₁的方程；
（Ⅱ）当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y），设切线方程为kx-y+y+4k=0，利用直线与圆相切可得，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k₁，k₂是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，从而可得；同理可得，由此可得当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
解答：（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=且圆C₂上的点位于直线x=-2的右侧
∴=x+5
化简得曲线C₁的方程为y²=20x
（Ⅱ）证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y），
∵y≠±3，∴过P且与圆C₂相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
y-y=k（x+4），即kx-y+y+4k=0，
∴，整理得①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，则k₁，k₂是方程①的两个实根
∴②
由，消元可得③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，
∴y₁，y₂是方程③的两个实根
∴④
同理可得⑤
由②④⑤可得==6400
∴当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛物线联立，属于中档题．