Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点．
（1）求二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点N，使DN∥平面AMC，若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面AMC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）存在，且N为PC中点，利用

DN

•

n

=0，可得结论．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），M（0，1，

1

2

），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1）…（1分）
∴

AC

=(1，1，0)，

AM

=(0，1，

1

2

)，
设平面AMC的一个法向量

n

=(x，y，z)
由

n • AC =x+y=0 n • AM =y+ 1 2 z=0

，取x=1，则y=-1，z=2，∴

n

=（1，-1，2）…（3分）
又∵

BC

•

AC

=（1，-1，0）•（1，1，0）=0，

BC

•

AP

=(1，-1，0)•(0，0，1)=0
∴

BC

是平面PAC的一个法向量，…（5分）
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

|n||BC|

=

3

3

，
所求二面角的余弦值为

3

3

…（6分）
（2）存在，且N为PC中点
设

PN

=λ

PC

=λ(1，1，-1)，

DN

=

DP

+

PN

=（λ-1，λ，1-λ）…（9分）
依题意知，

DN

•

n

=1-2λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴

PN

=

1

2

PC

，即N为PC中点…（12分）

点评：本题考查面面角，考查线面平行，考查利用向量方法解决立体几何问题，解题的关键是确定平面的法向量．