Question

（2013•莱芜二模）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%
（I）设第n年该生产线的维护费用为a_n，求a_n的表达式；
（Ⅱ）设该生产线前n年维护费为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）根据题意可得当n≤7时，{a_n}组成以4为首项，2为公差的等差数列，当n＞7时，{a_n}组成以a₇=16为首项，1+25%=

5

4

为公差的等比数列，从而可求a_n
（II）利用（I）的结论，结合等差（等比）数列的求和公式，由此即可求得该生产线前n年维护费．

解答：解：（I）由题意知，当n≤7时，{a_n}组成以4为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n+2，
当n＞7时，{a_n}组成以a₇=16为首项，1+25%=

5

4

为公差的等比数列，
∴a_n=16×(

5

4

)n-7，
∴a_n=

2n+2，n≤7 16•( 5 4 )n-7，n≥8

；
（II）当n≤7时，S_n=4n+

n(n-1)

2

×2=n²+3n，
当n＞7时，S_n=70+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80×(

5

4

)n-7-10．
∴该生产线前n年维护费为S_n=

n2+3n，n≤7 80•( 5 4 )n-7-10，n≥8

．

点评：本题考查数列的应用，考查分段函数，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型，属于中档题．