Question

（本题满分13分）

一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．

(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；

(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

 

Answer 1

解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，

中垂线为轴建立直角坐标系------1分

则            ------2分

设抛物线的方程为，将点代入得       -------3分

所以抛物线弧AB方程为（）       ------4分

（2）解法一：

设等腰梯形的腰与抛物线相切于      

则过的切线的斜率为                 

所以切线的方程为：，即             

令，得，   令，得，

所以梯形面积          -----10分

当仅当，即时，成立                            

此时下底边长为                         -----12分

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．       -----13分

 解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于                                      

则过的切线的斜率为                         

所以切线的方程为：，即        

运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：

 -----10分

   

  

当仅当，即时，成立，此时下底边长为    ---12分

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．       -----------13分

 解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为，    联立，得，                

令，得，或（舍），        

故此腰所在直线方程为，                      

令，得，                                     

故等腰梯形的面积： ------------10分

当且仅当，即时，有               

此时，下底边长                 ------------12分

答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．             ----------13分