Question

如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线Z为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B′；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式．

(1)建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程；

(2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是AB边上的一点，=4，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且，求实数A的取值范围．

第19题图

Answer 1

答案：以B为原点，BA所在直线为Y轴，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系如图．

(1)解法一：设B′(t，2)，E(0，m)，

其中0≤t≤2，0＜m≤2．

∵，且，

∴四边形BEB′M是菱形，G(t，1)，M(f，2-m)．

且，即=0，

∵=(t，2-2m)，

∴=(t，2)，

∴-t²=4m-4，即m=t²+1．

设点M的坐标为(x，y)，则.

消去参数t，得y=x²+1(0≤x≤2)．

解法二：当B′不在A点处时．

第19题图

∵，

∴四边形BEB′M为平行四边形．

依题意BE=EB′，

∴平行四边形B′EBM为菱形，连接B′B交于l于G，则l是BB′的中垂线．

即M∈l，且B′M∥EB，

设B′(t，2)，0≤t≤2，则G(，1)

∴l的方程为y-1=.

设M(x，y)，∵B′M∥EB，∴

消去参数t，得x²=-4(y-1)(0＜x≤2)．

当B′在A点处时，=0，

∴M、E重合于AB的中点，

∴M的坐标为(0，1)，

∵M(0，1)也符合x²=-4(y-1)．

∴M点的轨迹方程为x²=-4(y-1)(0≤x≤2)．

(2)依题意知曲线C的方程为：

x²=-4(y-1)(-2≤x≤2)．

设直线PQ的方程为：y=kx+(≤k≤)．

代入曲线C的方程并整理，得x₂+4kx-2=0．

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则                                                         (*)

又∵，

∴(-x₁，-y₁)=λ(x₂，y₂)，

从而得x₁=-λx₂．

代人(*)得

①式两边平方后除以②式，得

，即=8k²

∵0≤k²≤.∴.

即2λ²-5λ+2≤0，∴≤λ≤2．

∴实数λ的取值范围为[，2].