Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1，整理得a_n-a_n-1=1进而可判断出数列{a_n}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．
（2）把（1）中求得的a_n代入求得的b_n通项公式，利用裂项法可证明原式．
（3）由的a_n代通项公式可分别求得c₁，c₂，c₃，c₄，猜想n≥2时，{c_n}是递减数列令，进而进行求导，根据n≥3时，f′（x）＜0，判断出在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，n≥2时，{lnc_n}是递减数列，即{c_n}是递减数列，同时c₁＜c₂，进而可知数列的最大项为c₂．
解答：解：（1）由已知，对于任意n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
所以2S_n-1=a_n-1+a_n-1²②
①-②得，2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均为正数，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1∴a_n=n（n∈N^*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有，
∴=
（3）由已知，，
易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞
猜想n≥2时，{c_n}是递减数列
令
则，
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），知
∴n≥2时，{lnc_n}是递减数列，即{c_n}是递减数列，
又c₁＜c₂，
∴数列{c_n}中的最大项为．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质．考查了学生综合分析问题的能力．