Question

一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求：
（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？
（2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出邮包个数y的函数解析式；
（2）将数列问题转化为函数问题，利用配方法，对n进行讨论，从而确定相应的最值．
解答：解：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列{a_n}
（1）由题意得：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
在第k站出发时，前面放上的邮袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）个
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k-1）个
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]=
即列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数kn-k²（k=1，2，…n）个．…（6分）
（2）当n为偶数时，时，最大值为
当n为奇数时，时，最大值为．
所以，当n为偶数时，第站的邮袋数最多，最多是个；
当n为奇数时，第站的邮袋数最多，最多是个．…（14分）
点评：本题的考点是数列的应用，考查了数列通项的求解，考查二次函数的性质在实际生活中的应用，利用函数思想解决数列问题，由一定的综合性