Question

【题目】知函数，.

（1）求的单调区间；

（2）证明：存在，使得方程在上有唯一解.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

（1）求出函数f（x）的定义域，对函数f（x）求导得到，分与,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f（x）的单调区间；

（2）构造，求导分析的单调性，找到a<1时，在上恒成立，在上递增，而h(，,由函数零点存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即证得结论.

（1）函数f（x）的定义域为，

因为，

令，

则，即，

则在上恒成立，

当或，由有或，

由有，

综上，当时，的递增区间是，

当或时，的递增区间是，递减区间是；

（2）令，

当时，则

，

因为，故当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，有最小值，又h（1）=1-2a，

当a<1时，h（1）0，即在上恒成立，

又a<1时,，

取x=,则即，

又在上递增，而h(，由函数零点存在定理知在上存在唯一零点，

所以当a<1时即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.