Question

（2010•武清区一模）已知正项数列{a_n}满足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：0＜a_n＜1
（3）求证：a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．

Answer 1

分析：（1）分别令n=1、n=2代入所给的式子，解相应的方程即可；
（2）根据题意构造相应的函数f（x）=xⁿ+nx-1，得到a_n为函数的零点，由函数零点存在的判断方法，得到a_n所在的区间；
（3）先根据条件适当的放缩a_n的范围，再由裂项相消法求出式子的和，再证明不等式．

解答：解：（1）∵ann+nan-1=0（n∈N^*），
令n=1得，a₁+a₁-1=0，解得a₁=

1

2

，
令n=2得，a22+2a2-1=0，解得a₂=-1±

2

，
∵a_n＞0，∴a₂=

2

-1，
证明：（2）∵ann+nan-1=0，
∴a_n是方程xⁿ+nx-1=0的一个根，
设f（x）=xⁿ+nx-1，则f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上至少有一个实数根，
∵f′（x）=nx^n-1+n＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上递增，
则函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个实数根，且在（0，1）上，
∴a_n∈（0，1），即0＜a_n＜1；
（3）当n=1时，a12=

1

4

＜1，原式成立，
当n≥2时，∵ann+nan-1=0且0＜a_n＜1；
∴a_n=

1-ann

n

＜

1

n

，
∴a12+a22+…+an2＜

1

4

+(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n

)2
＜

1

4

+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=1-

1

n

＜1，
综上可得，a12+a22+…+an2＜1成立．

点评：本题是数列与函数、不等式相结合的综合题，主要考查了函数的零点与方程根的转化问题，裂项相消法和放缩法，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．