Question

如图,已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,棱长为a,M和N分别为棱AA₁和CC₁上的动点,且AM=C₁N.

(1)证明四边形BND₁M是平行四边形;

(2)求四边形BND₁M面积的最小值.

Answer 1

(1)证明:在BB₁上取一点P,使B₁P=C₁N.连结A₁P、PN.

∵B₁PC₁N,∴四边形B₁PNC₁是平行四边形.

∴PNB₁C₁A₁D₁.∴四边形A₁PND₁是平行四边形.

∴D₁NA₁P.∵A₁MBP,

∴四边形A₁MBP是平行四边形.

∴BMA₁P.BMD₁N.

∴四边形BND₁M是平行四边形.

(2)解析:连结MN,设MN∩BD₁=O.

由(1)可知=2,

在△BMD₁中,BD₁=.

又∵当点M运动到AA₁中点M₀时,易证M₀O是异面直线AA₁与BD₁的公垂线段,且可求得M₀O=a,从而点M到BD₁的最小距离就是异面直线AA₁与BD₁之间的距离a.

∴的最小值是×a×=.

∴四边形BMD₁N面积的最小值为.