Question

等差数列{a_n}中，a₂=4，其前n项和S_n满足Sn=n2+λn(λ∈R)．
（Ⅰ）求实数λ的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{

1

Sn

+bn}是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用a₂=S₂-S₁=4+2λ-1-λ=4，求出λ=1，再利用数列中a_n与 S_n关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求通项公式．
（II）求出数列{

1

Sn

+bn}的通项公式，再得出数列{b_n}的通项公式，最后根据通项公式形式选择相应方法求和．

解答：解：（I）因为a₂=S₂-S₁=4+2λ-1-λ=4，解得λ=1∴Sn=n2+n
当n≥2时，则an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，
当n=1时，也满足，所以a_n=2n．
（II）由已知数列{

1

Sn

+bn}是首项为1、公比为2的等比数列
其通项公式为

1

Sn

+bn=(

1

S1

+b1)2n-1，且首项

1

S1

+b1=1，
故b1=

1

2

，

1

Sn

+bn=(

1

S1

+b1)2n-1=2^n-1
bn=2n-1-

1

n(n+1)

=2n-1-(

1

n

-

1

n+1

)，
T_n=（1+2¹+…+2^n-1）…-[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2ⁿ-1-

n

n+1

．

点评：本题考查利用数列中a_n与 S_n关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求通项公式．数列公式法、裂项法求和．考查转化、计算能力．