Question

已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则直线PD与平面ABC所成的角为

π

4

．

Answer 1

分析：如图所示，不妨设AB=2，则PA=4，利用正六边形的性质即可得出AD的长，再利用线面垂直的性质和线面角的定义可知：∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．

解答：解：如图所示，不妨设AB=2，则PA=4．
连接AD，作BM⊥AD，CN⊥AD，垂足分别为M、N，
由正六边形的性质可得，∠BAD=60°，∴AM=ABcos60°=1，同理DN=1，
四边形BCNM为矩形，∴MN=BC=2，∴AD=4．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．
在Rt△PAD中，tan∠PDA=

PA

AD

=

4

4

=1，∴∠PDA=

π

4

．
故答案为

π

4

．

点评：熟练掌握正六边形的性质、线面垂直的性质和线面角的定义是解题的关键．