Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，ADC-900,AB=AD=PD=1.CD=2.

(I)求证：BC平面PBD：

(II)设E为侧棱PC上异于端点的一点，，试确定的值，使得二面角

E-BD-P的大小为．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据已有垂直关系，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

从而计算，得到，

由⊥底面，得到,⊥平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为

，通过假设平面的法向量为，建立方程组根据，建立方程，得解.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面⊥底面，⊥，所以⊥底面，所以⊥.又因为＝，即⊥，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

所以

所以，所以

由⊥底面，可得,

又因为，所以⊥平面.                   5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为 

，且，，所以，又，所以，.                      7分

设平面的法向量为，

因为，

由，，

得，

令，则可得平面的一个法向量为

所以，                    10分

解得或，

又由题意知，故.                      12分

考点：直线与平面垂直，二面角的计算，空间向量的应用.