Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M₁，则

| MM1|

|AB|

的最大值为

3

3

．

Answer 1

分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MM₁|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MM₁|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-

1

4

（a+b）²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
所以

| MM1|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

3 2 (a+b)

=

3

3

，
即

| MM1|

|AB|

的最大值为

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求

| MM1|

|AB|

的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．