Question

20、已知等腰梯形ABCD中，AB=2CD，，椭圆过C、D、E三点，且以A，B为焦点．
（1）若AB=4，梯形的高为，求椭圆方程；
（2）若，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设椭圆的方程，确定A，C的坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆的方程；
（2）确定点A，E，C坐标，代入椭圆方程，利用，即可求椭圆离心率e的取值范围．
解答：解：（1）由题意，设椭圆方程为：，则c=2，C（1，）
代入椭圆方程可得：，∵a²=b²+4，∴a²=16，b²=12
∴椭圆方程为；
（2）设椭圆方程为：，E（m，n），C（），
∵A（-c，0），，
∴E（，）
将E，C的坐标代入可得：；
∴+λ²（1-）=（1+λ）²
∴e²（1-λ）=1+2λ
∴e²=-2+
∵
∴
∴
∴
∴
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．