Question

设两个方程x²－ax＋1＝0，x²－bx＋1＝0的四个根组成以2为公比的等比数列，求ab的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　根据四个根成等比数列，可先恰当设出四个根，再由方程中的特殊：常数项同时为1，判断出哪两项对应哪个方程的两个根，然后用韦达定理得出根与系数关系，从而求出ab的值． 　　解答　　设以2为公比，成等比数列的四个根依次为a，2a，4a，8a(a≠0)． 　　∵两方程x2－ax＋1＝0，x2－bx＋1＝0的常数项同为1， 　　∴只有 　　时才有解，此时a2＝， 　　∴a，8a是其中一个方程的两根，2a，4a是另一方程的两根，不妨设a，8a是x2－ax＋1＝0的两根，2a，4a是x2－bx＋1＝0的两根， 　　则即 　　∴ab＝54a2＝ 　　评析　　等差、等比数列可与函数、方程、不等式、三角等内容进行综合应用．而在求成等差、等比数列的几个数时，必须注意设元的技巧，如成等差数列的三个数可设为：a－b，a，a＋b，成等比数列的三个数可设为aq－1，a，aq，从而简化运算．