Question

如图所示，n个相同的木块（可视为质点），每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l，第n个木块到桌边的距离也是l，木块与桌面间的动摩擦因数为μ．开始时，第1个木块以初速度υ向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下．
（1）求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．
（2）求第i次（i≤n一1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．
（3）若n=4，l=0.10m，υ=3.0m/s，重力加速度g=10m/s²，求μ的数值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在整个过程中因碰撞和摩擦损失的总动能等于初动能△E_k=，求出克服摩擦力做功，得到因摩擦而损失的动能，就能求得因碰撞而损失的总动能．
（2）根据动量守恒定律求出第i次（i≤n一1）碰撞前后速度关系，即可求得碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．
（3）分别求得各次碰撞前后的动能，得到第3次碰撞后的动能，结合题意：第n=4个木块刚好滑到桌边而没有掉下，运用功能关系求μ．
解答：解：（1）整个过程木块克服摩擦力做功
   W=μmgl+μmg?2l+…+μmg?nl=    ①
根据功能关系，整个过程中由于碰撞而损失的总动能为
△E_k=E_k0-W      ②
得△E_k=-       ③
（2）设第i次（i≤n一1）碰撞前木块的速度为υ_i，碰撞后速度为υ_i′，则
（i+1）mυ_i′=imυ_i ④
碰撞中损失的动能△E时与碰撞前动能E_ki之比为
   （i≤n-1）⑤
解得 （i≤n-1）⑥
（3）初动能E_k0=
第1次碰撞前              ⑦
第1次碰撞后   E_K1′=E_K1-△E_K1=E_K1-E_K1=E_K0-μmgl   ⑧
第2次碰撞前  E_K2=E_K1′=μ（2mg）l=E_K0-μmgl
第2次碰撞后 E_K2′=E_K2-△E_K2=E_K0-μmgl
第3次碰撞前   E_K3=E_K3′-μ（3mg）l=E_K0-μmgl
第3次碰撞后   E_K3′=E_K3-△E_K3=E_K0-μmgl
据题意有     E_K0-μmgl=μ（4mg）l      ⑨
代入数据，联立求解得    μ=0.15         ⑩
答：
（1）在整个过程中因碰撞而损失的总动能为-．
（2）第i次（i≤n一1）碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比为1：（i+1）．
（3）若n=4，l=0.10m，υ=3.0m/s，重力加速度g=10m/s²，μ的数值是0.15．
点评：本题是动量守恒与功能关系结合的类型，采用归纳法求解若干次碰撞的过程，难度较大．