Question

如图，已知AM∥BN，∠A=∠B=90°，AB=4，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，连接DC．设AE=x，BC=y．
（1）当AD=1时，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）在（1）的条件下，取线段DC的中点F，连接EF，若EF=2.5，求AE的长；
（3）如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD+DE=AB，那么请探究：△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；
（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；
（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．

解答：解：（1）由题中条件可得△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∵AE=x，BC=y，AB=4，AD=1
∴BE=4-x，
∴

1

4-x

=

x

y

，
∴y=-x²+4x（0＜x＜4）；

（2）∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
又∵DF=FC，
∴DC=2EF=2×2.5=5，
过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，
∴Rt△DHC中，HC=

DC2-DH2

=

52-42

=3，
∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，
∴-x²+4x=4
解得：x₁=x₂=2，
∴AE=2；

（3）△BCE的周长不变．理由如下：C_△AED=AE+DE+AD=4+x，BE=4-x，
设AD=m，则DE=4-m，
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²即，（4-m）²=x²+m²
∴m=

16-x2

8

，
由（1）知：△AED∽△BCE，
∴

C△ADE

C△BCE

=

AD

BE

=

16-x2 8

4-x

=

4+x

8

∴C△BCE=

8

4+x

•C△ADE=

8

4+x

•(4+x)=8
∴△BCE的周长不变．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的简单运用，能够熟练掌握相似三角形的性质并加以运用．