19.★(本小题满分10分)已知数列{a_n}、{b_n}都是无穷等差数列,其中a₁=3,b₁=2,b₂是a₂与a₃的等差中项,且.求极限的值.

分析 首先需求出a_n、b_n的表达式,以确定所求极限的表达式,为此,关键在于求出两个数列的公差,“b₂是a₂与a₃的等差中项”已给出一个等量关系,“a_n与b_n之比的极限为”又给出了另一个等量关系,故可考虑先设出公差用二元方程组求解.

解 设{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁、d₂,

∵2b₂=a₂+a₃,即2(2+d₂)=(3+d₁)+(3+2d1),

∴2d₂-3d₁=2.①　　 2分

又

即d₂=2d₁,②　　　 4分

联立①②解得d₁=2,d₂=4.

∴a_n=a₁+(n-1)d₁=3+(n-1)·2=2n+1,

b_n=b₁+(n-1)d₂=2+(n-1)·4=4n-2.　　 6分

10分

18.(本小题满分10分)已知数列{a_n}、{b_n},其中a_n=1+3+5+…+(2n+1),bn=2ⁿ+4(n≥5),试问是否存在这样的自然数n,使得a_n≤b_n成立？

分析 对n赋值后,比较几对a_n与b_n的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明.

解 a_n=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²,

当n=5时,a₅=36,b₅=2⁵+4=36,此时a₅=b₅;

当n=6时, a₆=49,b₆=2⁶+4=68,此时a₆<b₆;

当n=7时,a₇=64,b₇=2⁷+4=132,此时a₇<b₇;

当n=8时,a₈=81,b₈=2⁸+4=260,此时a₈<b₈.

猜想:当n≥6时,有a_n<b_n.　　　　 3分

下面用数学归纳法证明上述猜想.

①当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式a_n<b_n成立;

②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即a_k<b_k,也即(k+1)²<2k+4;当n=k+1时，b_k+1=2^k+1+4=2(2^k+4)-4>2(k+1)²-4=2k²+4k-2,

而(2k²+4k-2)-(k+2)²=k²-6>0(∵k≥6,∴k²＞6),

即2k²+4k-2>(k+2)²=［(k+1)+1］².

由不等式的传递性,知b_k+1>［(k+1)+1］²=a_k+1.

∴当n=k+1时,不等式也成立.　　 8分

由①②可知,对一切n∈N,且n≥6,都有a_n<b_n.

综上所述,可知只有当n=5时,a_n=b_n;当n≥6时,a_n＜b_n.因此存在使a_n≤b_n成立的自然数n.

10分

17.(本小题满分8分)某校有教职工150人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,则在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?

分析 本题考查用数列的递推公式求通项及数列的极限.

解 设第n次去健身房的人数为a_n,去娱乐室的人数为b_n,则a_n+b_n=150,　　　　　　　 2分

∴a_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+(150-a_n-1)=a_n-1+30,

即a_n=a_n-1+30.　　　　　　　　　 4分

∴a_n-100=(a_n-1-100).于是a_n-100=(a₁-100)·()^n-1,即a_n=100+()^n-1·(a₁-100).　 6分

∴a_n=100.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右.　　　　　　　 8分