Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．
（1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：
（4）当时，请直接写出的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．
又∵CE=AG，
∴△DCE≌△DAG，
∴DE=DG，
∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDA=90°
∴DE⊥DG．

（2）解：如图．


（3）解：四边形CEFK为平行四边形．
证明：设CK、DE相交于M点
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四边形CKGD是平行四边形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
∴∠KME+∠DEF=180°，
∴CK∥EF，
∴四边形CEFK为平行四边形．

（4）解：∵，
∴设CE=x，CB=nx，
∴CD=nx，
∴DE²=CE²+CD²=n²x²+x²=（n²+1）x²，
∵BC²=n²x²，
∴==．
分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；
（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；
（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；
（4）由已知表示出的值．
点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．