Question

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）折合而成的长方体盒子的侧面积是否有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）1cm；（2）边长为2.25cm时，侧面积最大为40.5cm²；（3）边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm²

【解析】

试题分析：（1）设正方形的边长为cm，根据长方形的面积公式即可列方程求解；

（2）设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²，根据长方体的侧面积公式即可得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果；

（3）设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²，根据长方体的侧面积公式即可得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果.

（1）设正方形的边长为cm，则

．   

即．

解得（不合题意，舍去），．

剪去的正方形的边长为1cm．

（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²，

则与的函数关系式为：．

即．（）

改写为．

当时，．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²． 

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm²．

若按如图所示的方法剪折，

则与的函数关系式为：．

即．

当时，．  

若按如图所示的方法剪折，

则与的函数关系式为：．

即．

当时，．

比较以上两种剪折方法可得，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm²．

考点：二次函数综合题

点评：解答本题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出二次函数关系式，同时熟练掌握配方法求二次函数最值的方法.