如图.在直角△ABC中.∠A=90°.AB=AC=8.点D位为斜边BC上的中点.点E.F分别在直角边AB.AC上运动.且保持BE=AF.连接DE.DF.EF.在此运动变化的过程中.下列结论:①△DFE是等腰直角三角形,②四边形AEDF不可能为正方形③四边形AEDF的面积保持不变,④EF长度的最小值为4⑤△AEF面积的最大值为8．其中正确的结论有( ) A.2个B.3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点D位为斜边BC上的中点，点E、F分别在直角边AB、AC上运动，且保持BE=AF，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形AEDF不可能为正方形
③四边形AEDF的面积保持不变；
④EF长度的最小值为4
⑤△AEF面积的最大值为8．
其中正确的结论有（　　）

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：①连结AD，根据等腰直角三角形的性质就可以得出∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°．就可以得出△BDE≌△ADF，就可以得出∠1=∠2，DE=DF，得出∠EDF=90°而得出结论；
②当E、F是AB、AC的中点时，四边形AEDF是正方形；
③由△BDE≌△ADF可以得出四边形AEDF的面积等于△ABD的面积而得出结论；
④设BE=AF=x，根据勾股定理就可以得出EF=

x2+(8-x)2

2(x-4)2+32

，得出EF的最小值为4

，进而得出结论；
⑤设BE=AF=x，△AEF面积的S，由三角形的面积公式得S=

(8-x)x

（x-4）²+8，故可以得出结论．

解答：解：①连结AD．
∵∠A=90°，AB=AC=8，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D位为斜边BC上的中点，
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°，BD=CD=AD=

BC．
在△BDE和△ADF中，

BD=AD

∠B=∠DAF

BE=AF

，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，DE=DF．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，故①正确；
②当E、F是AB、AC的中点时，
DE=AE=AF=DF=

AB=

AC．
∵∠EDF=90°，
∴四边形AEDF是正方形，故②错误；
③∵四边形AEDF的面积=S_△AED+S_△ADF，

∴四边形AEDF的面积=S_△AED+S_△BED．
∴四边形AEDF的面积=S_△ABD=

8×8

=32，
∴四边形AEDF的面积保持不变，故③正确；
④设BE=AF=x，由勾股定理，得
EF=

x2+(8-x)2

2(x-4)2+32

，
当x=4时，EF的最小值为4

≠4，故④错误；
⑤设BE=AF=x，△AEF面积的S，由题意，得
S=

(8-x)x

（x-4）²+8，
∵a=-

＜0，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
∴x=4时，S_最大=8，故⑤正确．
∴正确的共有3个．
故选B．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．

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