Question

已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO，连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点。
（1）如图（1），若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是_____，此时=_____；
（2）如图（2），若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α的式子表示）；
（3）在图（2）中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值。

Answer 1

解：（1）等边三角形；1； （2）连接BM、CN， 由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α， ∵A、O、C三点在同一直线上， ∴B、O、D三点在同一直线上， ∴∠BMC=∠CNB =90°， ∵为BC中点， ∴在Rt△BMC中，PM=BC， 在Rt△BNC中，PN=BC， ∴PM=PN， ∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，BC为半径， ∴∠MPN=2∠MBN， 又∵∠MBN=∠ABO=α， ∴∠MPN=∠ABO， ∴△PMN∽△BAO， ∴MN/PM=AO/BA， 由题意：MN=AD， 又PM=BC， ∴AD/BC= MN/PM， ∴AD/BC=AO/BA， 在Rt △BMA中， AM/AB=sinα， ∵AO=2AM， ∴=2sinα， ∴=2sinα； （3）。