Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A（-4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC的周长最小？若存在，请直接写出△PBC周长的最小值与点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A（-4，0）、B（1，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+2，
∵y=-x²-x+2=-（x²+3x+-）+2=-（x+）²+，
∴顶点D的坐标为（-，）；

（2）△ABC是直角三角形．
证明如下：当x=0时y=2，∴C（0，2），OC=2，
∵A（-4，0）、B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
∴AB²=25，
在Rt△AOC与Rt△BOC中，
AC²=OA²+OC²=20，BC²=OC²+OB²=5，
∴AC²+BC²=AB²；
∴△ABC是直角三角形；

（3）存在．
∵A、B关于对称轴直线x=-对称，
∴AC与对称轴的交点即为点P，
根据勾股定理，AC==2，
∵BC²=OC²+OB²=5，
∴BC=，
∴最小周长=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AC+BC=2+=3，
设直线AC的解析式为y=kx+m，
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y=x+2，
x=-时，y=×（-）+2=，
所以，点P的坐标为（，）．
分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可，把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；
（2）根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出OA、OB、OC的长，再求出AB，利用勾股定理列式求出BC²、AC²，然后根据勾股定理逆定理解答；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，AC与对称轴的交点即为所求的点P，利用勾股定理列式求出AC的长，则周长最小值=AC+BC，再求出直线AC的解析式，然后把顶点的横坐标代入解析式计算求出y值，即可得到点P的坐标．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点坐标的求解，勾股定理逆定理的应用，利用轴对称确定最短路线问题，（3）根据轴对称的性质确定出点P的位置是解题的关键．