练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2013•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
    8
    		2
    5
    x2+bx+c经过点A（
    3
    2
    ，0）和点B（1，2
    		2
    ），与x轴的另一个交点为C．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；
    （3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
    ①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
    ②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=
    1
    3
    ∠MFO时，请直接写出线段BM的长．
    分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
    （2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标；
    （3）①由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形；
    ②点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论．综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度．
    解答：解：（1）将A（
    3
    2
    ，0）、B（1，2
    		2
    ）代入抛物线解析式y=
    8
    		2
    5
    x2+bx+c，得：
    8
    		2
    5
    ×
    9
    4
    +
    3
    2
    b+c=0
    8
    		2
    5
    +b+c=2
    		2
    ，
    解得：
    b=-8
    		2
    c=
    42
    		2
    5
    ．
    ∴y=
    8
    		2
    5
    x2-8
    		2
    x+
    42
    		2
    5
    ．

    （2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．
    ∵B（1，2
    		2
    ），
    当y=2
    		2
    时，2
    		2
    =
    8
    		2
    5
    x2-8
    		2
    x+
    42
    		2
    5
    ，
    解得：x=1或x=4，
    ∴D（4，2
    		2
    ）．

    （3）①四边形OAEB是平行四边形．
    理由如下：抛物线的对称轴是x=
    5
    2
    ，
    ∴BE=
    5
    2
    -1=
    3
    2
    ．
    ∵A（
    3
    2
    ，0），
    ∴OA=BE=
    3
    2
    ．
    又∵BE∥OA，
    ∴四边形OAEB是平行四边形．
    ②∵O（0，0），B（1，2
    		2
    ），F为OB的中点，∴F（
    1
    2
    ，
    		2
    ）．
    过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=2
    		2
    -
    		2
    =
    		2
    ，BN=1-
    1
    2
    =
    1
    2
    ．
    在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=
    		BN2+FN2
    =
    3
    2
    ．
    ∵∠BMF=
    1
    3
    ∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
    ∴∠FBM=2∠BMF．
    （I）当点M位于点B右侧时．
    在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=
    3
    2
    ，连接FG，则GN=BG-BN=1，
    在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=
    		GN2+FN2
    =
    		3
    ．
    ∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
    又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
    ∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
    ∴△GFB∽△GMF，
    ∴
    GM
    GF
    =
    GF
    GB
    ，即
    3
    2
    +BM
    		3
    =
    		3
    3
    2
    ，
    ∴BM=
    1
    2
    ；
    （II）当点M位于点B左侧时．
    设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
    ∴KF=
    1
    2
    OB=FB=
    3
    2
    ，
    ∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
    又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
    ∴∠BMF=∠MFK，
    ∴MK=KF=
    3
    2
    ，
    ∴BM=MK+BK=
    3
    2
    +1=
    5
    2
    ．
    综上所述，线段BM的长为
    1
    2
    或
    5
    2
    ．
    点评：本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点．难点在于第（3）②问，满足条件的点M可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•沈阳）如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•沈阳）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•沈阳）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是
    		13
    		13
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
    （1）求证：ON是⊙A的切线；
    （2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案