Question

如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm²，请用t的代数式表示S；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？

Answer 1

解：（1）∵长方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=6cm，
∴AE=3cm，
又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，
∴AE=BP，
在△AEP和△BQP中，
，
∴△AEP≌△BPQ，
∴∠AEP=∠BPQ，
又∵∠AEP+∠APE=90°，
故可得出∠BPQ+∠APE=90°，即∠EPQ=90°，
即EP⊥PQ．

（2）连接QE，由题意得：AP=BQ=t，BP=4-t，CQ=6-t，
S_PEQ=S_ABCD-S_BPQ-S_EDCQ-S_APE
=AD×AB-AE×AP-BP×BQ-（DE+CQ）×CD
=24-×3t-t（4-t）-×4（3+6-t）
=-t+6．

（3）设点Q的运动速度为xcm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
∴，
解得：，
即点Q的运动速度为cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
∴，
解得：，
即点Q的运动速度为1cm/s时能使两三角形全等．
分析：（1）本题很容易证明△AEP≌△BPQ，这样可得出∠AEP=∠BPQ，因为∠AEP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，这即可判断出结论．
（2）可分别用t表示出AP、BQ、BP、CQ的长度，然后用矩形的面积减去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面积即可得出△PEQ的面积为Scm²．
（3）设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．
点评：本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了．