Question

27、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为

垂直

，数量关系为

相等

．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．

解答：解：（1）①CF⊥BD，CF=BD …（2分）
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
又  BA=CA      AD=AF
∴△BAD≌△CAF…（5分）
∴CF=BD∠ACF=∠ACB=45°
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD …（7分）

（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G      …（9分）
则∵∠ACB=45°
∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC，AD=AF
∴△GAD≌△CAF（SAS）    …（10分）
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC           …（12分）

点评：本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．