Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E、F分别在AB、DC上，AE＝DF＝2．现把一块直径为2的量角器(圆心为O)放置在图形上，使其线MN与EF重合；若将量角器线上的端点N固定在点F上，再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α(＜α＜)，此时量角器的半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为．

(1)用含的代数式表示∠α的大小；

(2)当等于多少时，线段PC与平行？

(3)在量角器的旋转过程中，过点作GH⊥，交AE于点G，交AD于点H．设GE＝x，△AGH的面积为S．试求出S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连结，则∠PF＝．∵＝，∴∠PF＝∠FP＝∠α．∴＋2∠α＝　即∠α＝－； 　　(2)连结P，∵F是半圆的直径，∴P⊥PF．又∵FC⊥PF，∴FC∥P．若PC∥F，四边形PCF是平行四边形．∴PC＝F＝2FC，∠α＝∠CPF＝．代入(1)中关系式得：＝－，即＝； 　　(3)以点F为圆心，FE的长为半径画．∵G⊥F于点M．∴GH是的切线．同理GE、HD也都是的切线，∴GE＝G，H＝HD．(另法：连结GF，证得Rt△GEF≌Rt△GF，得EG＝G，同理可证H＝HD．)设GE＝x，则AG＝2－x，再设DH＝y，则H＝y，AH＝2－y，在Rt△AGH中，AG2＋AH2＝GH2，得：(2－x)2＋(2－y)2＝(x＋y)2．即：4－4x＋x2＋4－4y＋y2＝x2＋2xy＋y2　∴y＝，S＝AG·AH＝(2－x)(2－y)＝，自变量x的取值范围为0＜x＜2．S与x的函数关系式为S＝(0＜x＜2)．