Question

如图，在矩形ABCD中，BC=4，以BC为直径作半圆O与AD相切，对角线AC与半圆相交于点M．点E、F分别是BC、CD边上的动点，且CF=2CE，线段EF与AC相交于点G．以C为圆心，CG为半径作⊙C．
（1）求证：∠BAC=∠FEC；
（2）求证：EF是⊙C的切线；
（3）若S_△MEC=S_△EFC，求⊙C的半径．

Answer 1

（1）证明：∵半圆O与AD相切，
∴AB=BO，
又BC=4，∴AB=2，
∵AB：BC=1：2，CE：CF=1：2，
∴AB：BC=CE：CF，
又∵∠ABC=∠ECF=90°，
∴△ABC∽△ECF，
∴∠BAC=∠FEC；
（2）证明：∵∠FEC=∠BAC，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠GCE+∠FEC=90°，
∴∠CGE=90°，
∴CG⊥EF，
∴EF是⊙C的切线；
（3）解：过M作MH⊥BC 垂足为H，如图，
则MH∥AB，
∴，BC=2AB，
设MH=h 则CH=2h，OH=CH-CO=2h-2，
连接OM，在Rt△MHO中，∠MHO=90°，
∴MH²+HO²=OM²，即h²+（2h-2）²=2²，解得h₁=0（舍去），h₂=，
∴MH=，
∵S_△MEC=S_△EFC，
∴CE•MH=CE•CF，
∴CF=MH=，
∴CE=，
在Rt△CEF中，EF==，
∵CG•EF=CF•CE，即CG•=•，
∴CG=，
即⊙C的半径CG=．
分析：（1）根据矩形和切线的性质得到AB=BO，易得AB：BC=CE：CF=1：2，则可判断△ABC∽△ECF，所以∠BAC=∠FEC；
（2）由∠FEC=∠BAC，∠ACB+∠BAC=90°，则∠GCE+∠FEC=90°，所以∠CGE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）过M作MH⊥BC 垂足为H，如图，则MH∥AB，所以，利用BC=2AB，设MH=h 则CH=2h，OH=CH-CO=2h-2，在Rt△MHO中根据勾股定理计算出h=，即MH=，再利用S_△MEC=S_△EFC计算出CF=MH=，则CE=，然后在Rt△CEF中利用勾股定理计算出EF，再根据三角形面积公式可计算出CG．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和三角形相似的判定与性质．