Question

如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求证：△AOC∽△COB．
（2）过点C作CD∥x轴交二次函数的图象于点D，若点M在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点N在线段CD上也以每秒1个单位的速度由点D向点C运动，连接线段MN，设运动时间为t秒．（0＜t≤6）
①是否存在时刻t，使MN=AC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：令y=0，得：，
解得：x₁=2，x₂=8，
令x=0，得：y=-4，
∴A（2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴，
∴，
又∵∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB；

（2）解：①存在，t=5或3，
由题意，得：AM=DN=t，
∵A（2，0），B（8，0），
∴AB=8-2=6，
∴MB=6-t
∵CD∥x轴，点C（0，-4），
∴点D的纵坐标为-4，
∵点D在二次函数的图象上，
∴，
∴x₁=0，x₂=10，
∴D（10，-4），
∴CD=10，CN=10-t，
Ⅰ当AM=CN，即四边形ACNM是平行四边形时，MN=AC，
此时，t=10-t，
∴t=5，
Ⅱ连接BD，当MB=DN，即四边形MNDB是平行四边形时，
可证：MN=BD=AC，
此时，6-t=t，
∴t=3，
所以，当t=5或3时，MN=AC．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由
BC所在直线的斜率：=，
由题意点M（2+t，0），N（10-t，-4），
若MN所在直线的斜率-2，
则，
解得t=3，
在其范围故存在．
分析：（1）由二次函数求得其根从而得到三角形相应边的长度，证明三角形的相似；
（2）①由题意得AM=DN=t，有点A，B求得AB，MB，同理求得CD，CN，由当AM=CN，即四边形ACNM是平行四边形时，MN=AC，而求得t，连接BD，当MB=DN，即四边形MNDB是平行四边形时，得MN=BD=AC，从而求得．②若MN⊥BC，则两线段所在的直线的斜率互为负倒数，而求得．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查了二次函数与一次函数的结合，形成的三角形相似问题；以及在抛物线上出现移动的变量，结合起来的求解．