Question

（2011•虹口区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M是AD的中点．点E是边AB上的一动点，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连接EG，交边DC于点Q．设AE的长为x，△EMG的面积为y
（1）求∠MEG的正弦值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）线段MG的中点记为点P，连接CP，若△PGC∽△EFQ，求y的值．

Answer 1

分析：（1）先过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，得出GN的值，再根据M是AD的中点，得出AM=1，即可得出

MG

EM

=

GN

MA

的比值，从而得出∠MEG的正切值，根据勾股定理求出EG，即可求出∠MEG的正弦值；
（2）由（1）知，MG=4EM，在Rt△AEM中，得出MG=4

x2+1

，根据S_△EMG=

1

2

EM•MG，即可求出函数解析式，并得出x的取值范围；
（3）先分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H，I，得出BE、IG、BG、CF、CG、CH的值，即可得出EF=PG，∠F=∠PGC，再根据△PGC∽△EFQ，得出∠QEF=∠CPG即可得出y的值．

解答：解：（1）过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，
∴

MG

EM

=

GN

MA

，
∴GN=AB=4，
∵M是AD的中点，
∴AM=1，
∴

MG

EM

=

GN

MA

=4，
∵GM⊥EF，
∴在Rt△EMG中，
∴tan∠MEG=

MG

EM

=4；
设MG=4x，EM=x，在△EMG中，由勾股定理得：EG=

(4x)2+x2

=

17

x，
∴sin∠MEG=

MG

EG

=

4x

17 x

=

4 17

17

，
即∠MEG的正弦值是

4 17

17

；

（2）由（1）知，

MG

EM

=4，即MG=4EM，
∵在Rt△AEM中，EM=

x2+1

，
∴MG=4

x2+1

，
∵S_△EMG=

1

2

EM•MG，
∴y=2x²+2 （

1

4

＜x≤4）；

（3）分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H，I，
∴BE=4-x，IG=4x，
∴BG=4x+1，CF=x+4，CG=4x-1，CH=2x-1，
∴EF=PG，∠F=∠PGC，
∵△PGC∽△EFQ，
∴∠QEF=∠CPG，
则可证：△CPG≌△QEF，
∴QF=CG=4x-1，
∴CQ=CF-QF=5-3x，
可证BE∥CQ，
∴

CG

BG

=

CQ

BE

，即CG•BE=CQ•BG，
∴（4x-1）（4-x）=（5-3x）（4x+1），
解得：x₁=

3

4

2

，x₂=-

3

4

2

（舍去），
∴y=

17

4

；
∴可知y的值是

17

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据矩形的性质，锐角三角函数的定义分别进行解答．