Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠ODF=∠DEA=90°，
∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）∵AB为⊙O的直径，DE⊥AC，
∴∠BDA=∠DEA=90°，
∵∠BAD=∠CAD，
∴△BAD∽△DAE，
∴=，
即=，
∴AD=2，
∴cos∠BAD===，
∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°，
∴BD=AB=2，
∴S_△BOD=S_△ABD=××2×2=，
∴S_阴影=S_扇形BOD-S_△BOD=-=π-．
分析：（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可；
（2）证△BAD∽△DAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面积，相减即可．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，切线的判定，三角形的面积，扇形的面积计算等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，综合性比较强，有一定的难度．