Question

15．已知直线y=-x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）只有一个交点，将直线y=-x+4向上平移1个单位后与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于A，B两点，如图，则A点的坐标为（　　）

• A． （1，4）
• B． （1，5）
• C． （2，3）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 解方程$\frac{k}{x}$=-x+4，化为整式方程x²-4x+k=0，由于直线y=-x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）只有一个交点，有△=0即可求出反比例函数解析式，求出直线y=-x+4向上平移1个单位后解析式，解两解析式联组立成的方程组即可求出A，B的坐标．

解答 解：解方程$\frac{k}{x}$=-x+4，
化为整式方程x²-4x+k=0，
∵直线y=-x+4与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）只有一个交点，
∴△=（-4）²-4k=0，
解得：k=4，
∴y=$\frac{4}{x}$，
直线y=-x+4向上平移1个单位后解析式为y=-x+5，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴A（1，4），B（4，1），
故选A．

点评 本题主要考查了直线与双曲线的交点问题，直线的平移，了解直线与双曲线的只有一个交点，得到关于x的整式方程的判别式等于0求出k值是解题的关键．